Jak daleko uderzył piorun?

Kiedy byłem mały lubiłem obserwować burzę z piorunami. Pioruny uderzają daleko, ale huk jaki wytwarzają rozciągają się na odległości wielu kilometrów. Kiedy zobaczymy piorun trudno jest na oko zmierzyć odległość w jakiej od nas uderzył, ponieważ samo wyładowanie trwa raptem 0,2 sekundy. Jednym ze sposobów znanych z dzieciństwa jest liczenie czasu od momentu zobaczenia błyskawicy do czasu usłyszenia grzmotu, który towarzyszy wyładowaniom. Znając prędkość dźwięku wystarczy pomnożyć ją przez policzony czas, żeby otrzymać odległość od uderzenia pioruna.

d = v_d \cdot t

Na przykład dla prędkości dźwięku v_d = 344 m/s, jeśli czas między błyskiem a grzmotem wynosi 5 sekund, wtedy odległość do błyskawicy wynosi 1720 metrów. Proste i praktyczne. Sam dźwięk rozchodzi się w atmosferze z różnymi prędkościami, zależnie głównie od temperatury powietrza i kilku innych mniej istotnych czynników. Wiadomo, że im większa temperatura powietrza tym większa prędkość dźwięku. Zależność między tymi dwiema wielkościami prezentuje poniższy wzór:

v_d = 331,5\sqrt{1 + T \cdot \frac{1}{273,15}}

gdzie T jest temperaturą w celcjuszach. W moim przykładzie przyjąłem, że powietrze ma temperaturę około 20° C.

Kiedy piorun przenika niebo, wytwarza w tym samym momencie dwa rodzaje fal – fale akustyczne, które nasze ucho odbiera jako grzmot oraz fale elektromagnetyczne, które nasze oko rejestruje jako błysk. Światło błyskawicy pędzi ku nam z zawrotną prędkością 299792458 m/s (w rzeczywistości jest to niewiele mniej, gdyż w powietrzu światło porusza się wolniej niż w próżni) co jest wielkością znacznie większą niż prędkość dźwięku. Nic więc dziwnego, że najpierw widzimy błysk, a potem grzmot. Jedną rzeczą wartą odnotowania jest fakt, że błysk nie dociera do nas natychmiast po uderzeniu pioruna tylko potrzebuje małego, skończonego czasu do przebycia drogi od wyładowania do naszego oka. W momencie gdy to się stanie, dopiero wtedy zaczynamy odliczać kolejne sekundy i na podstawie tego pomiaru możemy wyznaczyć jak daleko uderzył piorun. Ile wynosi w takim razie odległość od pioruna uwzględniając skończoną prędkość światła?

piorun2
Rysunek przedstawia piorun emitujący fale elektromagnetyczne i akustyczne oraz osobę, która je obserwuje.

Zauważmy, że gdy światło dotrze do obserwatora w skończonym czasie t pokonując odległość od burzy równą d, wtedy fala dźwiękowa przebędzie pewną małą drogę równą s = v_d \cdot t (rys. powyżej). Niech osoba obserwująca burzę policzy czas od błysku do grzmotu i niech on będzie równy t_0. Wtedy odległość od pioruna będzie równa sumie odległości jaką pokona fala dźwiękowa w czasie liczenia przez obserwatora i drogi jaką przebędzie dźwięk w czasie przelotu światła od burzy do oka:

d = v_d \cdot t_0 + s

d = v_d \cdot t_0 + v_d\cdot t

Ponadto wiadomo, że t=\frac{d}{c} stąd po podstawieniu otrzymamy:

d = v_d \cdot t_0 + v_d\cdot \frac{d}{c}

Przekształcając powyższą równość dostaniemy wzór na odległość:

d =\frac{v_d \cdot t_0}{1 - \frac{v_d}{c}}

Jak widać (albo i nie) ta odległość jest większa niż gdybyśmy nie uwzględnili poprawki związanej ze skończoną prędkością światła. Dla wcześniejszego przypadku będzie ona równa 1720,002 m czyli różnica to zaledwie 2 mm. W granicy, gdy c\rightarrow\infty wzór przechodzi do znanego wcześniej d = v_d \cdot t_0

Podsumowując odległość od pioruna można spokojnie policzyć korzystając z metody liczenia czasu między błyskiem a grzmotem. Gdy jednak chodzi o dokładność to powyższy wzór uwzględni fakt, że światło rozchodzi się ze skończoną prędkością światła.

Advertisements

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Log Out / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Log Out / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Log Out / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Log Out / Zmień )

Connecting to %s