Wyprowadzenie transformacji Lorentza

ZOBACZ W PDF-ie

Poniższe wyprowadzenie opiera się na postulatach Szczególnej Teorii Względności, które mówią, że:

  • Prawa fizyki są jednakowe niezależnie od wyboru inercjalnego układu odniesienia.
  • Dla każdego inercjalnego obserwatora światło w próżni porusza się ze stałą prędkością c niezależnie od kierunku.

Będziemy rozważać dwa układy A i B poruszające się z prędkościami v_A i v_B względem obserwatora pozostającego w spoczynku tak jak na Rysunku 1. Ponadto wprowadźmy v'_B jako prędkość układu B widzianą względem układu A. Żeby to lepiej zobrazować wyobraźmy sobie, że mamy dwa samochody A i B poruszające się z różnymi prędkościami v_A i v_B. Siedząc w samochodzie A widzimy samochód B jadący z prędkością v'_B.

Rysunek 1: Dwa inercjalne układy odniesienia poruszające się z prędkością $v_A$ i $v_B$ względem obserwatora pozostającego w spoczynku.

Na początku rozpatrzmy transformację Galileusza. Załóżmy, że ruch odbywa się tylko po współrzędnej x, więc dla pozostałych współrzędnych przestrzennych zajdzie równość dy' = dy i dz' = dz. Przekształcenie Galileusza dla dx' i dt' będzie miało postać:

dx' = dx - v_A dt

dt' = dt

Dzieląc dx' przez dt' otrzymamy:

v'_B = \frac{dx'}{dt'} = \frac{dx}{dt} - v_A

czyli

v'_B = v_B - v_A

Otrzymaliśmy prawo składania prędkości według transformacji Galileusza. Jednak ta transformacja nie jest poprawna, gdyż nie uwzględnia stałości prędkości światła. Ten postulat jest spełniony dopiero dla transformacji Lorentza. Zapiszmy ogólną postać transformacji w postaci:

dx' = Kdx + Ldt

dt' = Mdx + Ndt

gdzie K, L, M, N są nieznanymi współczynnikami, które trzeba znaleźć. Podzielmy teraz równanie na dx' przez dt'. Otrzymamy wyrażenie na prędkość v'_B:

v'_B = \frac{Kdx + Ldt}{Mdx + Ndt}

Wyciągając w liczniku i mianowniku dt przed nawias oraz uwzględniając v_B = \frac{dx}{dt} dostaniemy:

v'_B = \frac{Kv_B + L}{Mv_B + N}

Rozpatrzmy teraz kilka przypadków w celu wyznaczenia nieznanych współczynników.

  • Układ B jest w spoczynku (v_B = 0)
    Kiedy układ B jest w spoczynku, wtedy układ A widzi układ B poruszający się w przeciwnym kierunku z prędkością v_A

    v'_B = - v_A

    Wstawiając powyższe warunki do v'_B otrzymamy:

    L = -Nv_A

    Wstawiając to co uzyskaliśmy do v'_B wzór przekształci się do postaci:

    v'_B = \frac{Kv_B - Nv_A}{Mv_B + N}

  • Układ B porusza się z tą samą prędkością co A (v_B = v_A)
    Gdy oba układy poruszają się z tą samą prędkością i w tym samym kierunku, wtedy spoczywają względem siebie, więc zachodzi równość: 

    v'_B = 0

    Uwzględniając powyższy wynik we wzorze na v'_B dostaniemy kolejne informacje o nieznanych współczynnikach:

    N = K

    Wtedy wzór na prędkość będzie równy:

    v'_B = K\frac{v_B - v_A}{Mv_B + K}

    Gdybyśmy teraz założyli, że M = 0 to otrzymalibyśmy wzór na dodawanie prędkości w transformacji Galileusza. Jednak niezerowa wartość tego współczynnika sprawia, że transformacja Lorentza nie jest tożsama z transformacją Galileusza. Musi on być dobrany tak, żeby był spełniony postulat stałej prędkości światła w inercjalnym układzie odniesienia. Rozpatrzmy więc trzeci przypadek będący postulatem Szczególnej Teorii Względności.

  • Układ B porusza się z prędkością światła v_B = c
    Zgodnie z tym co powiedzieliśmy wcześniej w tym wypadku powinniśmy otrzymać: 

    v'_B = c

    Po wstawieniu powyższej równości do v'_B otrzymamy wartość współczynnika M w postaci:

    M = -K\frac{v_A}{c^2}

    Wstawiając go z powrotem do prędkości dostaniemy:

    v'_B = \frac{v_B - v_A}{1 - \frac{v_A v_B}{c^2}}

Otrzymaliśmy wzór na relatywistyczne składanie prędkości, ale naszym zadaniem jest wyznaczenie transformacji Lorentza, z której wynika powyższy wzór.
Znamy postać wszystkich współczynników oprócz K. Wstawmy je więc do równań na dx' i dt':

dx' = K(dx - v_Adt)

dt' = K(dt - \frac{v_Adx}{c^2})

Do znalezienia pełnej postaci transformacji pozostało jeszcze wyznaczenie współczynnika K. W tym celu można skorzystać z pierwszego postulatu STW mówiącego, że prawa fizyki nie zmieniają swojej postaci przy przejściu z jednego do drugiego inercjalnego układu odniesienia. Oznacza to, że wraz ze zmianą układu zmieni się tylko znak przy prędkości na przeciwny oraz primowane wielkości zamienią się miejscami z nieprimowanymi. Stąd też prawdziwa jest transformacja w postaci:

dx = K'(dx' + v_Adt')

dt = K'(dt' + \frac{v_Adx'}{c^2})

Wielkość K jest w najogólniejszym przypadku jakąś funkcją prędkości K = K(v), więc K' będzie równa K' = K(-v). Ze względu na pierwszy postulat STW musi w tym wypadku zachodzić równość:

K(v) = K(-v)

W przeciwnym razie transformacja Lorentza nie zachowuje niezmienniczości interwału czasoprzestrzennego, czyli zostaje złamana symetria względem układów inercjalnych.
Wstawiając do wzoru na dx wielkość dx' otrzymamy:

dx = K(Kdx - Kvdt + Kvdt - Kdx\frac{v^2}{c^2})

Skracając wyrazy wyrażenie przekształci się do postaci:

1 = K^2(1 - \frac{v^2}{c^2})

Stąd współczynnik K jest równy:

K(v) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}

Mając już wyliczone wszystkie współczynniki oraz podstawiając v_A = v i \gamma(v) = K(v) otrzymamy transformację Lorentza dla wielkości primowanych:

dx' = \gamma(v)(dx-vdt)

dt' = \gamma(v)(dt-\frac{vdx}{c^2})

oraz transformację Lorentza dla wielkości nieprimowanych:

dx = \gamma(v)(dx'+vdt')

dt = \gamma(v)(dt'+\frac{vdx'}{c^2})

Advertisements

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Log Out / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Log Out / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Log Out / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Log Out / Zmień )

Connecting to %s