Rzut w polu grawitacyjnym

ZOBACZ W PDF-ie

Rzut w ziemskim polu grawitacyjnym jest to rzut w jednorodnym polu sił ciężkości o przyspieszeniu g = 9.80655 \left[\frac{m}{s^2}\right]. Podstawowymi wielkościami określającymi taki rzut jest prędkość początkowa v oraz kąt wyrzutu \alpha. Ponadto ciało znajduje się w początkowym położeniu x_0, y_0 względem początku układu współrzędnych oraz pomijany jest opór ośrodka. Tak przygotowany układ ilustruje Rysunek 1.

Równania opisujące położenie w czasie rzutu w polu grawitacyjnym są następujące:

x(t) = x_{0} + v_x t

y(t) = y_{0} + v_y t - \frac{gt^2}{2}

oraz

v_x = v\cdot \cos\alpha

v_y = v\cdot \sin\alpha

Z tych równań można wyprowadzić pięć wielkości charakteryzujących rzut w polu grawitacyjnym:

  • czas przelotu T
  • zasięg rzutu d
  • maksymalna wysokość na jaką wzniesie się ciało h_{max}
  • prędkość końcowa v_{k}
  • tor rzuconego ciała w polu grawitacyjnym y(x)

 

Rysunek 1: Wykres przedstawiający rzut ciała w jednorodnym polu grawitacyjnym.
Rysunek 1: Wykres przedstawiający rzut ciała w jednorodnym polu grawitacyjnym.

 

W pierwszej kolejności wyznaczmy czas przelotu T. Czas przelotu jest to czas jaki upłynął od momentu wyrzutu do momentu spadnięcia na ziemię. Oznacza to, że zachodzi dla niego warunek:

y(T) = 0

Korzystając ze wzoru na y(t) otrzymamy:

y_0 + v_y T - \frac{gT^2}{2} = 0

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe ze względu na T. Obliczmy wyróżnik i poszukajmy rozwiązania powyższego równania:

\Delta = v_y^2 + 2gy_0

T_{1,2} = \frac{v_y \pm \sqrt{v_y^2 + 2gy_0}}{g}

Możliwe jest tylko rozwiązanie dodatnie, więc uwzględniając v_y = v\cdot\sin\alpha oraz podstawiając y_0 = h otrzymamy ostatecznie:

T = \frac{v\sin\alpha + \sqrt{v^2\sin^2\alpha + 2gh}}{g}

Następnie wyznaczmy zasięg rzutu d w polu grawitacyjnym. W ogólnym przypadku zasięg można wyznaczyć ze wzoru:

d = \int^{T}_{0}v_x dt

Ponieważ zaniedbujemy opór ośrodka, dlatego prędkość pozioma nie zmienia się w czasie i wzór na zasięg rzutu przyjmuje postać:

d = x_0 + v_x T

Podstawiając do powyższego wzoru v_x = v\cdot\cos\alpha i T otrzymamy ostatecznie:

d = x_0 + v\cos\alpha\frac{v\sin\alpha + \sqrt{v^2\sin^2\alpha + 2gh}}{g}

Ostania wielkość charakteryzująca rzut to maksymalna wysokość h_{max} na jaką wzniesie się ciało. W tym celu skorzystajmy z rachunku różniczkowego i wyliczmy maksimum funkcji y(t). Różniczkując ją względem t i przyrównując wynik do zera wyznaczmy t_{max} czyli czas, w którym ciało jest w najwyższym punkcie lotu. Z równania:

\frac{dy(t)}{dt} = 0

otrzymamy:

v_y - gt_{max} = 0

stąd czas, w którym ciało osiągnie maksymalną wysokość wynosi:

t_{max} = \frac{v_y}{g}

Następnie wstawiając wyrażenie na t_{max} do y(t) otrzymamy:

h_{max} = y(t_{max}) = h + \frac{v_y^2}{2g}

Uwzględniając v_y = v\cdot\sin\alpha dostaniemy końcowy wzór:

h_{max} = h + \frac{v^2}{2g}\sin^2\alpha

Istnieje jeszcze jeden parametr charakteryzujący rzut, którym jest prędkość końcowa v_k. Do wyznaczenia prędkości końcowej powinniśmy znaleźć zależność składowych prędkości od czasu. W tym celu wyznaczmy pochodne x(t), y(t):

v_x(t) = \frac{dx(t)}{dt} = v_x

v_y(t) = \frac{dy(t)}{dt} = v_y - gt

I prędkość całkowita jest równa:

v(t) = \sqrt{v^2_x(t) + v^2_y(t)} = \sqrt{v^2_x + (v_y - gt)^2}

Prędkość końcowa jest to prędkość ciała w czasie zetknięcia się z ziemią, czyli:

v_k = v(T) = \sqrt{v^2_x + (v_y - gT)^2}

Wstawiając T do powyższego równania oraz zamieniając v\sin\alpha = v_y otrzymamy:

v_k = \sqrt{v^2_x + v^2_y + 2gh}

czyli:

v_k = \sqrt{v^2 + 2gh}

Otrzymaliśmy wzór na prędkość końcową. Jak widać nie zależy ona od kąta nachylenia tylko od prędkości początkowej i wysokości. W przypadku gdy h=0, wartość prędkości końcowej jest zawsze równa wartości prędkości początkowej.

Ostatnią rzeczą, o której warto powiedzieć jest równanie na tor w polu grawitacyjnym. Jeśli wyznaczymy czas ze wzoru x(t):

t = \frac{x - x_0}{v_x}

i wstawimy go do y(t) to otrzymamy funkcję, której wykresem jest tor rzuconego ciała w jednorodnym polu grawitacyjnym:

y(x) = y_0 + \tan\alpha(x-x_0) - \frac{g}{2v^2\cos^2\alpha}(x-x_0)^2

Podsumowując, wielkości charakteryzujące rzut w polu grawitacyjnym, które otrzymaliśmy na bazie równań ruchu x(t), y(t), v_x, v_y są następujące:

  • czas przelotu

    T = \frac{v\sin\alpha + \sqrt{v^2\sin^2\alpha + 2gh}}{g}

  • zasięg rzutu

    d = x_0 + v\cos\alpha\frac{v\sin\alpha + \sqrt{v^2\sin^2\alpha + 2gh}}{g}

  • maksymalna wysokość

    h_{max} = h + \frac{v^2}{2g}\sin^2\alpha

  • prędkość końcowa

    v_k = \sqrt{v^2 + 2gh}

  • tor ciała rzuconego w polu grawitacyjnym

    y(x) = y_0 + \tan\alpha(x-x_0) - \frac{g}{2v^2\cos^2\alpha}(x-x_0)^2

Są to wzory na przypadek ogólny, w którym ciało znajduje się na wysokości h i zostało wyrzucone pod kątem \alpha z prędkością v.

 

Reklamy

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie na Google+

Komentujesz korzystając z konta Google+. Wyloguj / Zmień )

Connecting to %s